SERIE A - für E-Techniker, Physiker Mathe I

Dieser Umdruck THEORIE und AUFGABENSAMMLUNG MATHEMATIK I enthält kapitelweise gegliedert zunächst in bewußt knapp gehaltener Form die Theorie, wie sie zur Lösung der Aufgaben erforderlich ist. Diese Theorieteile wollen an schon Gehörtes oder Gelesenes erinnern und geben keine Auskunft darüber, wieso das denn alles so ist (dazu dienen die Vorlesungen oder die Fachliteratur).

Kurzinhalt: Reelle und natürliche Zahlen, vollständige Induktion, Funktionen, Grenzwert, Stetigkeit, Differential- und Integralrechnung

Anzahl der Aufgaben: 233

Anzahl der Seiten: 156

In jedem Kapitel schließen sich an den Theorieteil die Aufgaben mit Lösungen an. Der Übersichtlichkeit halber ist die Aufgabenstellung eingerahmt und mit einem graphic versehen. Die Aufgaben sind innerhalb jedes Kapitels fortlaufend numeriert, die zugehörige Lösung findet sich direkt im Anschluß an die jeweilige Aufgabenstellung. Das erspart zeitraubendes Hin- und Herblättern.

Vorschlag:

es bietet sich an, daß Sie die Übungsaufgaben Ihres Semesters mitsamt den in den Übungen gegebenen Lösungen einfach an jenen Stellen in den Umdruck einkleben, zu denen sie gebietsweise passen (falls sie nicht ohnehin schon hier im Umdruck enthalten sind).

Der vorliegende Umdruck will nicht eigenständiges Denken überflüssig machen. Einiges ist zwar in aller Breite dargestellt, andere Gedankengänge mag der Leser vielleicht erst nach eigenen (einfachen!) Rechnungen verstehen. Uns lag daran, besonders auf Beziehungen zwischen den einzelnen Aufgaben hinzuweisen. Dadurch sollten Sie lernen, nicht jedes Problem von Grund auf neu zu lösen, sondern auf schon Bekanntes oder Erarbeitetes zurückzugreifen.

Unser Tip:

Befassen Sie sich hauptsächlich mit den Themen und Aufgabentypen, die Sie noch nicht so gut beherrschen. Rechnen Sie so viele Aufgaben, wie eben möglich - und auch von der Art, die Sie noch nie mochten! (Insgesamt bieten wir Ihnen in diesem Umdruck vermutlich mehr Aufgaben an, als Sie bei knapper Zeit selbständig rechnen können. Wir wollen jedoch gewährleisten, daß zu jedem Themengebiet eine ausreichende Anzahl vorhanden ist.)

Gerade in der Mathematik ist es von großer Bedeutung, Übung im Umgang mit schnell wechselnden Aufgabentypen zu haben. Da genügt es nicht z.B. ungefähr zu wissen, wie man eine Funktion differenziert. Nur durch Routine wird es Ihnen gelingen, die Ihnen vorgesetzten Klausuren auch in der vorgegebenen Zeit möglichst vollständig zu bearbeiten. Und Sie können es schaffen (sicher!), wenn Sie sich die Mühe machen, Ihre Schwachpunkte rechtzeitig vor (!) der Klausur festzustellen und daran zu arbeiten.

Nun noch etwas:

Die Aufgaben, die Sie angehen, sollten Sie nicht nur überfliegen („So ähnlich hatten wir das ja schon ...“). In Prüfungen sind es meist nur „Kleinigkeiten“, an denen viel kostbare Zeit vergeudet wird bzw. bei denen Fehler gemacht werden: und meist sind es genau die „Kleinigkeiten“, die beim Durchlesen der Lösungen auch so leicht übersehen werden! Wir empfehlen daher, Aufgaben zumindest schriftlich nachzuvollziehen, wenn nicht sogar eigenständig zu lösen - den verbleibenden Rest dann aber noch sachverständig anzusehen.

Übrigens:

Es gibt im allgemeinen nicht nur einen Lösungsweg (verschiedentlich haben wir auch mehrere Lösungsalternativen nebeneinandergestellt). Sollten Sie also auf einem anderen Weg als hier dargestellt durch logisch folgerichtige Umformungen zu demselben Ergebnis kommen, freuen wir uns mit Ihnen und hoffen nur, daß Sie Ihre „genialen“ Gedanken nicht unnötig in Frage stellen, „weil es dort und hier ja anders steht“.

Daneben sind wir für jeden Hinweis auf Fehler (sachlicher oder formaler Art) dankbar.

INHALTSVERZEICHNIS:

KAPITEL I: Reelle Zahlen; natürliche Zahlen; vollständige Induktion

Axiome der Addition und Multiplikation

Ordnungsaxiome

Natürliche Zahlen - Verfahren der vollständigen Induktion

Prinzip der rekursiven Definition

Vollständigkeitsaxiom: Supremum Infimum

Absoluter Betrag

Rechenregeln

Erzeugung von Ungleichungen

Prinzip der Summation

Definition Binomialkoeffizient

41 AUFGABEN zum KAPITEL I

KAPITEL II:Funktion; Grenzwert; Stetigkeit

Definition des Zahlenpaares

Definition der Umgebung

Definition der Stetigkeit

Definition des Grenzwertes

Eindeutigkeitssatz

Rechenregeln für den Grenzwert

Rechts- bzw. linksseitiger Grenzwert

Andere Definitionen der Stetigkeit

Gleichmäßige Stetigkeit

Bolzano’s Nullstellensatz

Zwischenwertsatz

Allgemeine Bemerkungen zur Stetigkeit

Zum Beweis des Grenzwertes

39 AUFGABEN zum KAPITEL II

KAPITEL III und IV: Differential- und Integralrechnung

Das bestimmte Integral

Rechenregeln für das bestimmte Integral

Flächeninhalt

Mittelwertsatz der Integralrechnung

Ableitung einer Funktion Summenregel Produktregel Quotientenregel

Zusammengesetzte Funktion Kettenregel

Differenz- und Differentialfunktion

Mittelwertsatz der Differentialrechnung Verallgemeinerter Mittelwertsatz

Umkehrfunktion

Hauptsätze der Differential- und Integralrechnung

Partielle Integration

Substitutionsregel

Logarithmusfunktion (L-Funktion)

Exponentialfunktion (exp-Funktion)

Allgemeine Potenz

Logarithmische Differentiation

Hyperbolische Funktionen

Trigonometrische Funktionen (T-Funktionen)

Arcusfunktionen

Allgemeine Exponentialfunktion

Allgemeiner Logarithmus

Integrationstabelle

Differentialgleichung erster Ordnung Anfangswertproblem

48 AUFGABEN zum KAPITEL III

Aufgaben zur ABLEITUNG; UMKEHRFUNKTION; LINEAREN DIFFERENTIALGLEICHUNG 1. ORDNUNG 3 BESONDERE AUFGABEN Aufgaben zur STETIGKEIT und STETIGKEIT der ABLEITUNG

102 AUFGABEN zum KAPITEL IV Aufgaben zur INTEGRALRECHUNG